[Данна фон Блау]

Парадокс Рассела:

Множество обычных множеств

Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов — это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента.

Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно множество, о нем тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством.

Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов.

Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, причем само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чем, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о несуществовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы.

Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий «множество» и «элемент множества». Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще.

Почитать об этом можно здесь.

@темы: ссылки, математичное, ликбез

Comments

[Venera Taro]

Ты не поверишь... название поста я прочла, как "парадокс рассылки". Читаю и пытаюсь понять, при чем тут рассылка.

[Данна фон Блау]

Venera Taro, постигла дзен? ХД

[Venera Taro]

Вейде фон Блау, даааа. До сих пор из дзена не могу выйти. Так там и блуждаю.

[Данна фон Блау]

Venera Taro, брось эту пакость, хехе) Я прочитал этот парадокс, проникся, запостил и закрыл. Вдумываться глубже как-то не охота) И тебе не советую)

[Mary Carotid]

О, множества) не ожидала такую тему у кого-нибудь найтиХ)

[Данна фон Блау]

Mary Carotid, пичиму?

[Mary Carotid]

Вейде фон Блау, никогда раньше не видела статей по логике,математике и тд. в дневниках ведь не такое обычно постят))

[Данна фон Блау]

Mary Carotid, тыкни у меня тег "ликбез" - там всякого интересного много, хотя и не гарантирую, что по математике)

[Mary Carotid]

Вейде фон Блау, ткну)

[Данна фон Блау]

Mary Carotid, я щас глянул - там про математику нет ничего))) Хотя много про творчество ^^'
В общем, почему бы не математика? Множества тоже хороши, хех)

[Mary Carotid]

Вейде фон Блау, ну и отлично, творчество мне ближе математикиХ) наверно

[Данна фон Блау]

Mary Carotid, там кучка ликбезов есть по написанию слеша и вообще хорошести есть. Ну, короче найдешь))Я сам перечитал сегодня несколько статей, подзабыл уже а то

[Mary Carotid]

Вейде фон Блау, вот такие мануалы мне очень нужныХ) как раз пишу слэш. а про снятие/одевание доспехов нет ничего?Х)

[Данна фон Блау]

Mary Carotid, не, там скорее про описание постельных сцен)) Ну и вообще про написание) Доспехи снимать - это к гуглу наверно или к обоснуйщикам ХДД

[Mary Carotid]

Вейде фон Блау, мне как раз надо учиться писать постельные сцены, а то выходит не пойми чтоХ) я гуглила, у меня тупо сайты не грузятсяХ)

[Данна фон Блау]

Mary Carotid, как не грузятся? А ты что гуглила-то? О_о

[Mary Carotid]

Вейде фон Блау, да у меня инет черепаха, 100 метров в сутки на нормальной скорости, а дальше 8кб =D вот и не могу я серфить по сайтам. А гуглила я устройство латных доспехов, уход за доспехами и прочееХ)

[Данна фон Блау]

Mary Carotid, бедняжка..